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삼각형의 내각의 합이 180도가 아니라고?!

윤보연 기자 7레벨 2019.03.31 21:29

안녕하세요. 윤보연 기자입니다. 여러분은 '유클리드 기하학'에 대해 들어보셨나요? 이번 기사로는 '유클리드 기하학'과 반대되는 '비유클리드 기하학' 중 하나인 '구면기하학'에 대해 알아보겠습니다. 일단 '유클리드 기하학'과 '비유클리드 기하학'이 뭔지 모르시는 분들을 위해 그게 무엇인지 먼저 설명하고 '구면기하학'에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

1. '유클리드 기하학'

 

'유클리드 기하학'이란 고대 그리스 수학자인 에우클레이데스(유클리드, Euclid)가 정립한 최초의 기하학입니다. 이 '유클리드 기하학'에는 5가지의 공리가 있습니다. 5가지 공리의 내용은 이러합니다.

 

1. 서로 다른 두 점이 주어졌을 때 그 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있다.
2. 임의의 선분은 더 연장할 수 있다. 
3. 서로 다른 두 점 A, B에 대해 A를 중심으로 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. 
4. 모든 직각은 서로 합동이다. 
5. 한 선분을 서로 다른 두 직선이 교차할 때, 두 내각의 합이 180도보다 작으면,
   이 두 직선을 연장할 때 두 내각의 합이 180도보다 작은 쪽에서 교차한다.

 

5번째 공리는 자세히 알려드리도록 하겠습니다.

 

위의 사진에서 직선 N에 두 직선 M과 L을 교차했을 때 생기는 각을 각각 A, B라 하겠습니다. 이 때 각 B가 각 A보다 작기 때문에 두 직선 M과 L에 연장선을 그려 점 C로 만나게 하면 점 C는 더 작은 각(각 B)을 가지고 있는 직선 L쪽으로 치우치게 됩니다. 이게 바로 5번째 공리입니다.

 

이 기하학은 무려 2000년 동안 널리 쓰이며 '절대 진리'로 여겨졌다고 합니다. 하지만 19세기 새로운 기하학이 등장하게 됩니다. 그게 바로 '비유클리드 기하학'입니다. 

 

2. '비유클리드 기하학'

 

'비유클리드 기하학'이란 가우스, 보여이, 로바체프스키 등에 의해 등장하게 된 기하학입니다. 이 기하학 속에는 '쌍곡 기하학'과 '구면 기하학'이 있습니다. 이 기하학은 '유클리드 기하학'의 5번째 공리 등이 성립하지 않는 상황이 있다는 걸 증명합니다.  이 '비유클리드 기하학'은 아인슈타인의 '상대성 이론'과 대단한 연관이 돼 있습니다.

 

3. '구면기하학' 

 

'구면기하학'은 수학자 리만에 의해 등장하여 '리만 기하학'이라고도 불립니다. 이 기하학은 평면이 아니라 구면 위에서 여러 도형의 성질을 다룹니다. 이 '구면 기하학'으로 인해 우리가 현재 알고 있는 상식이 모순이라는 걸 증명합니다. 그럼 어떤 것이 모순인지 설명해드리겠습니다.

 

첫 번째, 삼각형의 내각의 합에 대한 모순입니다. 초등학교와 중학교 과정에서는 삼각형의 내각의 합은 180도라고 설명합니다. 

(중학교 과정에서는 위의 사진처럼 '엇각'이라는 개념을 이용해서 삼각형의 내각의 합이 180도라는 걸 증명합니다.)

 

하지만 구면 위에서는 다릅니다.

위의 사진처럼 적도에서 북극해로 선분을 그으면 한 내각의 크기가 90도가 되어 90X3으로 내각의 크기의 합이 270도가 됩니다.

 

두 번째, 최단거리에 대한 모순입니다. 중학교 과정에서는 두 점 A,B의 최단거리는 직선이라고 되어 있습니다. 하지만 구면 위에서는 곡선이 최단거리가 될 수 있습니다.

지구본 상에서 프랑스와 한국의 최단거리는 위 사진과 같습니다. 하지만 이 최단거리를 평면인 지도에 표현하게 된다면

이렇게 곡선이 됩니다. 

 

관련 동영상: https://youtu.be/4_kGXlUyfbI?t=358

 

세 번째, 평행선에 대한 모순입니다. 초등학교, 중학교 과정 모두 평행한 두 직선은 절대로 만나지 않는다고 되어 있습니다. 하지만 구면 위에서는 만납니다.

위 사진과 같이 지구본(구면) 위의 평행선은 이렇게 만나게 됩니다.

 

네 번째, '피타고라스의 정리'에 대한 모순입니다. '피타고라스의 정리'는 중학교 2학년 때 나오는 개념입니다. 

'피타고라스의 정리'란 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고, 빗변의 길이를 c라 하면 a2+b2=c2이 성립한다는 거입니다.

하지만 이 위대한 발견은 구면 위에서는 모순이 됩니다. 

'피타고라스의 정리'는 지구(구면) 위의 작은 공간에서는 직각삼각형을 그렸을 때 식이 성립하지만

범위가 커지면 오차가 생깁니다.

 

관련 동영상: https://youtu.be/gWh9vw53RBk

 

마지막으로 정리를 하자면 

 

라고 기억해주셨으면 좋겠습니다. 

 

출처-픽사베이, 구글 지도, 관련 동영상 캡쳐 짤 (직접 그림판과 포토**이프로 편집한 사진도 있습니다.)

(글쓴이가 중학교 1학년이어서 고등학교 과정에 대해는 잘 모릅니다. 그래서 초등학교와 중학교 과정만 언급했습니다.)

(이 글을 쓸 때 수학동아의 기사를 참고했습니다.)

 

이 기사를 읽어주셔서 감사합니다.

 

사진, 동영상 링크가 삭제될 수도 있으니 온전한 글을 보실려면 제 블러그 링크를 눌러주세요.

https://blog.naver.com/octoberfish/221502113892

 

글쓰기 평가어린이과학동아 기자2019.04.02

보연 기자, 반가워요. 수학 기사를 써 주었네요. ^^ 다소 어려울 수 있는 '구면기하학'을 주제로 한 글인데, 여러 가지 자료를 참고한 흔적이 보여요. 어과동 친구들에게 구면기하학 기사가 너무 어렵지 않을까 생각이 되는데, 글에서 그림과 예시를 들어 설명한 점이 좋았어요. 구면기하학을 설명하는 참고자료에서 저런 예를 든 경우가 많아요.
출처를 잘 밝혀준 점도 좋았고, 쉽지 않은 수학 기사를 쓴 점도 흥미로웠어요. ^^ 앞으로도 활발한 활동 기대할게요. 기사 잘 봤어요.

댓글75

  • 정민지 3레벨 2019-09-10 18:49

    0 0

    머리가 핑핑 도네요. 도무지 이해가......

  • 정민지 3레벨 2019-09-10 18:45

    0 0

    저는 초1 이라서 그런지 도무지 이해가 안되네요. 

  • 정민지 3레벨 2019-09-05 14:24

    0 0

    언니 조금 더 쉽게 설명해줘 초등 1학년이 보기에는 너무 어려워ㅠㅠ


  • 성민교 2레벨 2019-08-13 18:01

    0 0

    4학년인데 이해된다

  • 손무형 4레벨 2019-08-09 23:08

    0 0

    구에 삼각형을 그린다면 그건 더이상 삼각형이 아닙니다.

  • 손무형 4레벨 2019-08-09 23:08

    0 0

    근데 삼각형이라는 그 도형 자체가 구에 그릴 수 없습니다.

  • 권순미 4레벨 2019-07-16 21:06

    0 0

    뭔 소리인지?4학년이라서 모름

  • 정민지 3레벨 2019-07-05 14:34

    0 0

    이 기사를 본 1학년은 머리가 터졌다고 한다 그런데 이해는 좀 하겠네요.

  • 최연희 4레벨 2019-05-31 14:06

    0 0

    이거 언제 배우는 건가요?전 초4라서 머리가 

    터질 것 같네요ㅠㅠ

    • 정민지 3레벨 2019-09-10 16:42

      0

      저는 초1 이라서 너무 이해 못하겠네요.

    • 김가은 4레벨 2019-07-29 20:19

      0

      저도 4학년인데 머리가 터질것 같아요. (과연 커서 배울 수 있을까)

    • 권지수 5레벨 2019-06-04 17:02

      0

      초3은 더 그래요~ㅠㅠ

  • 박세원 1레벨 2019-05-30 18:38

    0 0

    아~그렇군요~ 학교에 가서 선생님께 알려드려야 겠어요^^

  • 장하은 3레벨 2019-05-29 16:45

    0 0

    하...하하

    알겠습니다(기사가 넘 넘 어려워요ㅠㅠ)

  • 박우영 3레벨 2019-05-14 18:38

    0 0

    좋은 정보 고마워요

  • 박우영 3레벨 2019-05-14 18:38

    0 0

    하지만 좋은 글이에요

  • 박우영 3레벨 2019-05-14 18:37

    0 0

    기사가 너무 어려워요

  • 박우영 3레벨 2019-05-14 18:37

    0 0

    오키

  • 박우영 3레벨 2019-05-14 18:37

    0 0

    하 그렇군

  • 이영아 3레벨 2019-05-14 07:29

    0 0

    그...그렇군요...하하하...(참고:4학년)

  • 김이현 6레벨 2019-05-09 08:21

    0 0

    그런걸 어디서 아셨어요?

  • 이연서 3레벨 2019-05-03 21:17

    0 0

    (친구들  에게  자랑해야지 ㅎㅎ)

  • 이연서 3레벨 2019-05-03 21:16

    0 0

    wow!  신기하네요.삼각형  각의  합이  180도가아니라니

  • 이창현 4레벨 2019-04-17 20:36

    0 0

    그래도 대충은 알겠네요....

  • 이창현 4레벨 2019-04-17 20:35

    0 0

    (이 기사를 본 4학년은 머리가 터졌다고 한다)

  • 한재원 5레벨 2019-04-16 07:14

    0 0

    .누나 내머리 가 터질것같아 더쉽게해줘

      초등5짜리가 이해하는건 겁나 힘들어

  • 전유찬 1레벨 2019-04-15 16:05

    0 0

    아하!

  • 배강유 3레벨 2019-04-14 21:11

    0 0

    무슨 말인지는 잘 모르겠지만 되게 자세하게 쓰신 것 같아요.
    (나만 모르는 건가..............)

  • 양재형 5레벨 2019-04-14 15:02

    0 0

    수학동아의 내용을 보충했네요(아마도)^^ 수학동아에 나온 기사보다 더 자세해서 어린 나이의 아이들도 쉽게 알 수 있을 것 같네요^^

  • 염서진 5레벨 2019-04-13 11:22

    0 0

    신기해요!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


  • 김한진 2레벨 2019-04-12 21:59

    0 1

    피타고라스 정리는 누구나 아는거 않임?

    • 한나예 5레벨 2019-04-14 21:53

      0

    • 한나예 5레벨 2019-04-14 21:52

      0

      모를수도 있어요....:: 잘난척은 하지 말아주세요. 모르는 사람 입장에서는 기분이 안 좋아요.

      님이 다 아시는건 그냥 속으로만 생각해주심 좋겠네요.

    • 정진영 5레벨 2019-04-14 20:17

      0

    • 정진영 5레벨 2019-04-14 19:56

      0

      .....모르는 사람들도 있어요.....중2에 배우는 거니까....그리고 위에 않임 아니라 아님이예요.이런 사실이 누구나 아는건데.......

  • 신윤하 3레벨 2019-04-12 17:59

    0 0

    신기하다................!!!!!!!!!!!!!!!

  • 정민지 3레벨 2019-04-12 17:24

    0 0

    내용이 어렵내용. 도통 못 알아 듯겠당.

  • 박채은 3레벨 2019-04-11 20:40

    0 0

    와우

  • 박정옥 5레벨 2019-04-10 14:24

    0 0

    내용이 어렵지만 잘 봤어요 

  • 양서진 1레벨 2019-04-10 13:09

    0 0

    ??

  • 이채율 3레벨 2019-04-10 07:39

    0 0

    이거 몇 학년 문제인가요?

    저는 4학년이라 못 알아듣는 것일지...

    • 정진영 5레벨 2019-04-14 20:18

      0

      읽어봤는데 이해가 다 되는데 않더라는 부분 하나......어렵다.

    • 정진영 5레벨 2019-04-14 19:57

      0

      옹 전 4학년인데 대충봄......환불에 잘 봐야지

    • 박채은 3레벨 2019-04-11 20:41

      0

      저는3학년 인데 다 알아들었습니다!!!

  • 허해울 6레벨 2019-04-09 20:32

    0 0

    오!! 신기하다~~

  • 섭섭박사 7레벨 2019-04-09 07:14

    3 0

    재미있는 수학기사네요. ~^^. 평소에 알고 있던 상식에서 잠깐 어? 하고 생각할 수 있는 기사인 것 같아요. 앞으로도 재미있는 기사 많이 부탁해요~^^

  • 남지훈 2레벨 2019-04-08 20:37

    0 0

    .?

  • 조은결 6레벨 2019-04-08 20:05

    0 0

    조금 어려운 기사이지만 도움이 된 것 같아요!추천합니다

  • 김서진 4레벨 2019-04-08 19:46

    0 0

    조금 내용이 어려워용~ㅠㅠ

  • 유세온 5레벨 2019-04-08 18:31

    0 0

    어렵다

  • 김수안 5레벨 2019-04-08 16:28

    0 0

    으아~ 머리가 핑핑 돌지만...  제 머리에 지우개가 있나봐요...

    도무지 이해가...


  • 정민교 5레벨 2019-04-08 15:34

    0 0


  • 윤아라 5레벨 2019-04-08 11:28

    0 0

    오옷 구면이 수학의 개념을 바꾸네여!


  • 윤지우 4레벨 2019-04-08 07:52

    0 0

    유익한 정보 감사감사

  • 장정윤 2레벨 2019-04-07 08:36

    0 0

    이제 알겠어요!

  • 정사무엘 5레벨 2019-04-06 21:43

    0 0

    진짜 신기하네.

  • 신재호 4레벨 2019-04-06 15:57

    0 0

    유익한 설명이였어요!

  • 김민솔 6레벨 2019-04-06 09:22

    0 0

    그 저 삼각형 있잖아요 그게 문해길이라는 문제집에 있는 문제에 언급이 된 적이 있는데여 그 문제가 어땠냐면요


    어떤 곰이 남쪽으로 10m 서쪽으로 10m 북쪽으로 10m 이동했는데 제자리에 도착했다. 그 곰의 색깔은?

    이런 문제였는데 북극이니깐 답은 흰색ㅋㅋㅋ

  • 정원준 6레벨 2019-04-05 18:09

    0 0

    어렵긴 하지만 신기해요!!!

  • 황지우 7레벨 2019-04-04 18:15

    0 0

    나는.. 아직 언니 정도의 지식이 없나봐 ㅠㅠ

  • 김민서 4레벨 2019-04-04 00:05

    0 0

    왠지 괜히 수학 선행한 느낌이 드는 것 같네요... 뭐 앞으로 배울 내용이기는 하지만. 좋은 정보 감사해요!

  • 강혁준 3레벨 2019-04-03 23:42

    0 1

    으잉?

  • 권태연 4레벨 2019-04-03 19:45

    0 0

    제 지식으로 이해가 안되지만 정말 유익해요!(ㅋ

  • 김지환 2레벨 2019-04-02 23:21

    0 0

    뭔가 어쩌고 저쩌고 하지만 뭐가 어떻게 된거겠죠....?

  • 이지우 5레벨 2019-04-02 21:52

    0 0

    ???

    나만 못 알아들은 건가?

  • 권우혁 6레벨 2019-04-02 20:54

    0 0

    저렇게 정확한 정보를...

  • 장미향 3레벨 2019-04-02 20:07

    0 0

    제 머리로는 이해가 되지 않는 내용이지만 잘 쓰셨네요!

  • 이현엽 4레벨 2019-04-02 17:28

    0 0

    잘 썼네요 신기하고 재밌는 기사

    부탁해요

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