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2500 년 전에도 Logical 이 있었다고?

Joseph Ku 기자 4레벨 2021.04.12 09:18

여러분은 'Logical' 이라는 유튜버를 아시나요? 문제점을 찾기 어렵고 이상한 논리로 1 더하기 1 이 1이라는 증명을 했죠. 물론 이 증명은 잘못된 증명입니다. 구독자 15만을 이렇게 모았다는 것은 특이하네요. 그런데 무려 2500년 전에도 이런 사람이 있었다고 합니다. 그리스의 제논(Zenon) 이라는 분인데요, 이분은 성격이 괴팍해서 다른 사람들의 논리를 꼬집기만 했다고 합니다. 그의 논리를 알려 드리겠습니다. 

 

1. 제논의 활쏘기 역설

이 논리는 유명해서 들어 본 분들도 많을 겁니다. 그의 주장은 이런 것인데요, 화살이 절대로 과녁의 도착할 수 없다. 화살과 과녁과의 거리가 1이라면 화살은 ½ 를 날아가야 하고, 또 남은 거리의 ½ 인 ¼를 날아가야 하고, 또 남은 거리의 ½를 날아가고, 또 남은 거리의 ½를 날아가고... 이런 일이 무한히 반복되서 결국 도착에 가까워지기만 하고 도착하지는 못한다는 것이죠. 당연히 뭔가 이상한 논리입니다. 활쏘기를 할 수 없어도 이것이 틀린지 맞는지 실험하려면 물건 하나만 던져 보세요. 소리가 난다면 결국 그 물건은 도착했다는 것이고, 제논의 논리는 엉터리가 됩니다.

 

2. 제논의 아킬레스와 거북이 역설

이 논리도 1번 논리와 비슷합니다. 아킬레스는 엄청난 달리기 선수고, 거북이는 아무리 달려도 우리가 걷는 것보다 느리게 뛰는 느립니다. 아킬레스에게 거북이가 달리기 시합을 신청했는데요, 100미터 달리기이며, 거북이가 20미터 앞에서 시작합니다. 아킬레스가 거북이보다 3배 이상 빠르다면, 누가 이길까요? 당연히 아킬레스입니다.  아킬레스가 1초에 20미터를 달린다면 아킬레스는 100미터를 달리는 데 5초가 걸립니다. 거북이가 아킬레스보다 3배 느리다고 하면 거북이는 3초에 20미터를 달릴 것이고, 80미터를 달리는 데 12초가 걸릴 테니 안 봐도 알 수 있을 텐데요, 여기서 제논의 주장은 이렇습니다. 아킬레스가 거북이가 있었던 곳까지 갔을 때, 거북이가 느리다고 해도 얼마쯤은 가 있을 겁니다. 또 아킬레스가 거북이의 위치로 가도, 거북이는 조금은 전진해 있겠죠. 그렇게 되면 절대로 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 없겠죠. 이 논리도 엉터립니다. 아킬레스는 5초 만에 도착하는데, 거북이는 12초나 걸립니다. 

 

그러면 이것이 틀렸다는 것을 증명한 사람은 누구일까요? 바로 오일러라는 수학자십니다. 그분은 무한급수라는 것을 통해 이것을 설명했는데요, 제가 간단하게 설명해 보겠습니다. 

 

1+1+1+1+1+1...(무한반복)+1 은 얼마일까요? 무한입니다. 당연하죠.

 

그러면 이건 어떨까요? 

0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009...(무한반복)+0.0000000000000(무한)09 는 얼마일까요? 이것도 무한 반복이니까 무한일까요? 아닙니다. 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, 0.999999... 이렇게 1에 가까워질 뿐이죠. 이런 겁니다. 화살의 남은 거리가 매우 작아지면 그것은 0과 같은 존재가 됩니다. 결국 원자 하나보다도 작아지게 되고, 과녁과의 거리는 0이 됩니다. 원자의 1조 분의 1만큼의 거리와 0의 거리의 차이는 찾을 수 없을 정도로 작아지고, 0이 된다고도 설병할 수 있습니다. 더 어려운 설명으로 정확한 증명을 할 수도 있지만, 제가 못할 것 같네요...

 

이걸 변형해서 여러분들도 잘 사용해 보시길 바랍니다! 감사합니다.

글쓰기 평가어린이과학동아 기자2021.04.13

다소 어려울 수 있는 역설, 무한급수 등 수학 개념을 다룬 글이네요. 그럼에도 글만 천천히 잘 읽어도 이해하는 데에 무리가 되지 않게 자신의 말로, 이해하기 쉽도록 잘 글로 표현해 주었어요. 글의 도입과 본론까지 잘 내용을 구성했는데, 마지막이 조금 아쉬워요. 마지막에 글을 통해 자신이 하고 싶은 말을 한 두 문장으로 정리해서 마치면 더 자연스러운 글이 될 것 같네요. ^^

댓글1

  • 정영희 4레벨 2021-05-07 08:15

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911